零和與非零合？以牙還牙（Tit for tat）
在討論以牙還牙之前，先來討論兩個重要的觀念：
零和博弈（Zero-Sum Game）
零和博弈又稱零和遊戲，與非零和博弈相對，是博弈論的一個概念，屬非合作博弈，指參與博弈的各方，在嚴格競爭下，一方的收益必然意味著另一方的損失，博弈各方的收益和損失相加總和永遠為「零」。雙方不存在合作的可能。
也可以說：自己的幸福是建立在他人的痛苦之上的，二者的大小完全相等，因而雙方都想盡一切辦法以實現「損人利己」。零和博弈的例子有：賭博、期貨、股票等。
非零和博弈（non Zero-Sum Game）
非零和博弈是一種非合作下的博弈，博弈中各方的收益或損失的總和不是零值，它區別於零和博弈。在經濟學研究中很有用。
在這種狀況時，自己的所得並不與他人的所失的大小相等，連自己的幸福也未必建立在他人的痛苦之上，即使傷害他人也可能「損人不利己」，所以博弈雙方存在「雙贏」的可能，進而合作。
非零和博弈的例子：譬如，在戀愛中一方受傷的時候，對方並不是一定得到滿足。也有可能雙方一起能得精神的滿足。也有可能雙方一起受傷。通常，彼此精神的損益不是零和的。
囚徒困境就是非零和的一種代表，那要怎麼突破這個囚徒困境，阻止最後的「納許均衡」發生呢？
以牙還牙策略
- 友善：以牙還牙者開始一定採取合作態度，不會背叛對方
- 報復性：遭到對方背叛，以牙還牙者一定會還擊作出報復
- 寬恕：當對方停止背叛，以牙還牙者會原諒對方，繼續合作
- 不羨慕對手：以牙還牙者個人永遠不會得到最大利益，整個策略以全體的最大利益為依歸
牙還牙策略應用在囚徒困境中
假設有四個參與者：兩個用以牙還牙的策略，另外兩個無論任何時候都會背叛其他人以讓自己得到最大的好處。假定每個參與者將要面對另外三個參與者進行六次對決。如果一名參與者背叛對方而對方不背叛，前者有5分，後者得0分；如果雙方不背叛對方，雙方各得3分；如果雙方同時背叛對方，雙方各得1分。
- 當以牙還牙者對背叛者，前者第一場比賽選擇不背叛，而後者正好相反，後者獲得5分。在餘下的5場比賽，兩位參與者背叛對方，每一場比賽各得1分。最後，背叛者得10分，以牙還牙者得5分。
- 當雙方均為以牙還牙者，在所有6場比賽中彼此均不會背叛對方。雙方每回合各得3分，最後每人各得18分。
- 當背叛者互相對賽，雙方每次都會背叛對方。雙方每回合各得1分，最後每人各得6分。
儘管以牙還牙者從來沒有贏得過一場比賽，而背叛者從未輸過一場比賽，考慮到雙方的最大共同利益，以牙還牙仍然是最好的策略。
*以牙還牙未必是現實生活中的最佳解!* 雖然以牙還牙在某些情況下是最佳的策略，但兩名以牙還牙者有時候在博弈時仍會產生問題。假如其中一方錯誤理解形勢，就可能造成災難性結果。在以牙還牙的策略下，博弈者被迫懲罰之前背叛自己的對手（儘管他不是有意的），造成惡性循環。雙方都認為自己是無辜的，自己所作的只是為了自衛，並歸咎對手惡毒或是不跟自己合作。這種情況經常發生在現實世界的衝突，如學生間的打鬥和地區戰爭。而且實際上用以牙還牙策略只能保證和對方打成平手，很難獲得更大的勝利。
再論納許均衡
如果重複囚徒困境將被精確地重複N次，已知N是一個常數，那麼會產生另一個有趣的事實。納什均衡就是每次都背叛。這很容易用歸納法證明。你也可以在最後的回合背叛，既然你的對手將沒有機會懲罰你。因此，你們都將在最後的回合背叛。這時，你可以在倒數第二回合中背叛，既然最後一回無論你做什麼，你的對手都將背叛。依此類推。為了合作以保持請求，這時未來必須對兩個參與者來說是不確定的。一個解決方案是讓博弈總次數N變成隨機的。對未來的預期必須是無法確定的長度。
另一個單獨的案例是「永不停止」的囚徒困境。這個博弈被重複很多次，而且你的分數是一個平均數（當然是用電腦計算的）。
以牙還牙的榮光
以牙還牙當初只包含了四行BASIC語言，並且贏得了競爭錦標賽，擊敗了來自世界各地的研究團隊並且蟬連多年。
在重複囚徒困境的20周年紀念賽中，來英國南安普敦大學的一個小組介紹了一個新的策略，這個策略證明了它比以牙還牙更成功。這個策略依賴於程序之間的合作，為單一程序中獲得了最高的點數。南安普敦大學提交了60個程序參與競賽，這些程序的開頭被設計成通過一組5到10個的動作去彼此識別。一旦這些識別被作出，一個程序將總是合作，其他程序則總是背叛，保證背叛者得到最大的點數。如果程序識別出它在操作一個非南安普敦參與者，這程序將持續地背叛，企圖去最小化競爭程序的得分。結果這個策略以獲得前3位結束了競賽，也得到了大量接近底部的位置。雖然這個策略顯著地證明了比以牙還牙有效。
但是這策略是因為在此特殊的競賽中，多重通道是被允許的。在一方只能控制單一參與者的競賽中，以牙還牙確實是更好的策略。你想到了在生活中怎麼去應用「以牙還牙」了嗎？
參考：賽局理論