因為工作上的因素，必須實作獨立樣本T檢定的自動化檢測方法，因為自己並不是屬於這個領域的專家，因此在研讀了許多維基百科與網路文章，總算把這方面的演算實作出來了，另外也要感謝微軟在.NET Framework 4所提供的相關類別方法支援，讓我可以不必自己實作曲線積分相關的程式碼。透過這篇文章將相關的知識記錄下來，供給也有這方面需求的人員參考。
這個類別作為基礎統計用，基本上以箱型圖（盒鬚圖）要繪製所需要的參數為主，另外常見的樣本變異數、樣本標準差、樣本平均標準誤等也視為基礎統計參數來同步進行運算。
using System.Linq;
namespace Slashview.Statistics
{
/// <summary>
/// 統計類別：基本統計運算
/// </summary>
public class Base
{ //傳入等待計算的樣本物件
private Slashview.Statistics.Sample _oSample;
/// <summary>
/// 建構子
/// </summary>
/// <param name="oSample">樣本物件</param>
public Base(Slashview.Statistics.Sample oSample)
{ //設定預設參數
if (oSample == null || oSample.oList == null || oSample.oList.Count == 0)
{ setException("統計起始參數輸入錯誤！請檢查樣本是否為空值或樣本參數是否正確傳入。"); }
_oSample = oSample;
}
/// <summary>
/// 計算相關參數並回寫至物件
/// </summary>
public Slashview.Statistics.Sample GetCalculate()
{ //樣本排序
_oSample.oList = _oSample.oList.OrderBy(x => x).ToList();
//樣本個數
_oSample.iSize = _oSample.oList.Count();
//樣本平均數
_oSample.iAverage = _oSample.oList.Average();
/* 箱型圖參數
* 1. 中位數運算公式比較有統一的說法，可參考：https://zh.wikipedia.org/wiki/中位數
* 2. 第一四分位數（Q1）與第三四分位數（Q3）各學派有不同的解釋，一般學論說的使用位置求取方法，得到的數值跟實際上統計（例如Excel的QUARTILE函數）完全不一樣。
* 3. 基於上述的問題，因此放棄傳統排序後直接看位置的作法，使用查詢到的函式來手動運算。*/
//樣本最小值
_oSample.iMinimum = BoxPlotCalculator(_oSample.oList.ToArray(), 0);
//樣本第一四分位數（Q1）
_oSample.iQuartile1 = BoxPlotCalculator(_oSample.oList.ToArray(), 25);
//樣本中位數
_oSample.iMedian = BoxPlotCalculator(_oSample.oList.ToArray(), 50);
//樣本第三四分位數（Q3）
_oSample.iQuartile3 = BoxPlotCalculator(_oSample.oList.ToArray(), 75);
//樣本最大值
_oSample.iMaximum = BoxPlotCalculator(_oSample.oList.ToArray(), 100);
//樣本變異數
var iSumOfSD = _oSample.oList
.Select(x => System.Math.Pow(x - _oSample.iAverage, 2))
.Sum();
_oSample.iS = iSumOfSD * (1d / (_oSample.iSize - 1));
//樣本標準差
_oSample.iSD = System.Math.Pow(_oSample.iS, 0.5);
//樣本平均值的標準誤差
_oSample.iSEM = _oSample.iSD / System.Math.Pow(_oSample.iSize, 0.5);
//回傳物件
return _oSample;
}
/// <summary>
/// 箱型圖數值計算機（盒鬚圖）
/// 出處：https://www.codeproject.com/Articles/27340/A-User-Friendly-C-Descriptive-Statistic-Class
/// </summary>
/// <param name="aryList">排序過的陣列</param>
/// <param name="iPercentile">百分位位置</param>
/// <returns>對應數值</returns>
private double BoxPlotCalculator(double[] aryList, double iPercentile)
{
if (iPercentile >= 100.0d) return aryList[aryList.Length - 1];
double position = (aryList.Length + 1) * iPercentile / 100.0;
double leftNumber = 0.0d, rightNumber = 0.0d;
double n = iPercentile / 100.0d * (aryList.Length - 1) + 1.0d;
if (position >= 1)
{
leftNumber = aryList[(int)System.Math.Floor(n) - 1];
rightNumber = aryList[(int)System.Math.Floor(n)];
}
else
{
leftNumber = aryList[0];
rightNumber = aryList[1];
}
if (Equals(leftNumber, rightNumber))
{ return leftNumber; }
double part = n - System.Math.Floor(n);
return leftNumber + part * (rightNumber - leftNumber);
}
}
/// <summary>
/// 統計類別：統計樣本物件
/// </summary>
public class Sample
{ //樣本名稱
public string cName { get; set; }
//樣本集合
public System.Collections.Generic.List<double> oList { get; set; }
//樣本個數（n）
public int iSize { get; set; } = 0;
//樣本最大值
public double iMaximum { get; set; } = 0;
//樣本最小值
public double iMinimum { get; set; } = 0;
//樣本平均數（x̄；X Bar）
public double iAverage { get; set; } = 0;
//樣本中位數（第二四分位數）
public double iMedian { get; set; } = 0;
//樣本第一四分位數（Q1）
public double iQuartile1 { get; set; } = 0;
//樣本第三四分位數（Q3）
public double iQuartile3 { get; set; } = 0;
//樣本變異數（S^2）
public double iS { get; set; } = 0;
//樣本標準差（S）（Standard Deviation、標準偏差、均方差）
public double iSD { get; set; } = 0;
//樣本平均值的標準誤差（Standard Error of Mean）
public double iSEM { get; set; } = 0;
}
}
這個類別作為獨立樣本T檢定類別主要工作類別，裡面最主要用來產生所有SPSS在進行獨立樣本T檢定報告中所有的關鍵數據，也就是說，用這個類別你也可以在後端自動化的產生出跟IBM SPSS相同的獨立樣本T檢定報告。
此外，受到網友「布丁」的相關統計文章啟發，我也依樣畫葫蘆實作了自動化報告方法，可用來自動化產生報告供給使用者進行初步判讀。
using System.Linq;
namespace Slashview.Statistics
{
/// <summary>
/// 統計類別：獨立樣本T檢定
/// </summary>
public class IndependentSampleTTest
{ //調用System.Web.UI.DataVisualization類別進行後續的統計調查
private System.Web.UI.DataVisualization.Charting.Chart _oStatistics = new System.Web.UI.DataVisualization.Charting.Chart();
//用來比較的ＡＢ群組
private Slashview.Statistics.Sample _oGroupA;
private Slashview.Statistics.Sample _oGroupB;
//考量到使用者可能會調用自動產生報告，因此將計算後的T檢定結果物件進行暫存
private Slashview.Statistics.TTestResult _oTTestResult = null;
//顯著水準α
public double _iSignificantLevel = 0.05;
/// <summary>
/// 建構子
/// </summary>
/// <param name="oGroupA">統計群組Ａ</param>
/// <param name="oGroupB">統計群組Ｂ</param>
/// <param name="iSignificantLevel">顯著水準α（預設：0.05）</param>
public IndependentSampleTTest(Slashview.Statistics.Sample oGroupA, Slashview.Statistics.Sample oGroupB, double iSignificantLevel = 0.05)
{
int iSampleSizeLimit = 5;
if
(
oGroupA == null || oGroupA.iSize <= iSampleSizeLimit
||
oGroupB == null || oGroupB.iSize <= iSampleSizeLimit
)
{ setException($"統計起始參數輸入錯誤！請檢查樣本是否為空值，另每組樣本數量亦不可低於{iSampleSizeLimit}組。"); }
_oGroupA = oGroupA;
_oGroupB = oGroupB;
_iSignificantLevel = iSignificantLevel > 1 ? 0.05 : iSignificantLevel;
}
/// <summary>
/// 計算相關參數並回寫至物件
/// </summary>
/// <returns>T檢定結果物件</returns>
public Slashview.Statistics.TTestResult GetCalculate()
{ //定義最終回傳物件
var oResult = new Slashview.Statistics.TTestResult();
//設定顯著性程度
oResult.iSignificantLevel = _iSignificantLevel;
/* F-TEST計算（採用Levene's Test；樣本變異數同質性檢定）
* 演算法定義參考：https://en.wikipedia.org/wiki/Levene%27s_test */
//計算自由度
oResult.iFDf1 = 1; //為（樣本群組數目-1），因為此方法假定測試樣本群組永遠為AB兩個群組，因此值固定為1
oResult.iFDf2 = (_oGroupA.iSize + _oGroupB.iSize) - 2;
//各群組加總
var iGroupASum = _oGroupA.oList
.Select(x => System.Math.Abs(x - _oGroupA.iAverage))
.Sum();
var iGroupBSum = _oGroupB.oList
.Select(x => System.Math.Abs(x - _oGroupB.iAverage))
.Sum();
//各群組平均
var iGroupAAverage = iGroupASum / _oGroupA.iSize;
var iGroupBAverage = iGroupBSum / _oGroupB.iSize;
//兩群組總平均：如果把個別平均拿來加總除２，會有精度流失的問題，因此不建議這麼做
var iGroupTotalAverage = (iGroupASum + iGroupBSum) / (_oGroupA.iSize + _oGroupB.iSize);
//F-Test（分子數）
var iFTestA =
(_oGroupA.iSize * System.Math.Pow(iGroupAAverage - iGroupTotalAverage, 2)) +
(_oGroupB.iSize * System.Math.Pow(iGroupBAverage - iGroupTotalAverage, 2));
var iGroupSubSum = _oGroupA.oList
.Select(x => System.Math.Pow(System.Math.Abs(x - _oGroupA.iAverage) - iGroupAAverage, 2))
.Sum();
iGroupSubSum += _oGroupB.oList
.Select(x => System.Math.Pow(System.Math.Abs(x - _oGroupB.iAverage) - iGroupBAverage, 2))
.Sum();
//F-Test（分母數）
var iFTestB = iGroupSubSum / oResult.iFDf2;
//F-Statistics
oResult.iFValue = iFTestA / iFTestB;
//F-Statistics in p-Value
oResult.iFPValue = _oStatistics.DataManipulator.Statistics.FDistribution(oResult.iFValue, (int)oResult.iFDf1, (int)oResult.iFDf2);
/* F-Test顯著性判定
* 按照統計學上面的論述都是 p < α，鮮少看到 p <= α 的論述，因此在這邊還是用小於來判定，日後有問題的話再回來修正。*/
if (oResult.iFPValue < oResult.iSignificantLevel)
{ //已達顯著差異，因此可判定樣本變異數不相等
oResult.bIsVarianceEquals = false;
}
else
{ //未達顯著差異，因此可判定樣本變異數相等
oResult.bIsVarianceEquals = true;
}
/* T-TEST計算（樣本平均數差異T檢定）
* 這個檢定某些參數的計算公式，將基於F-TEST的「樣本變異數同質性之相同與否」而有所不同。
* 最終報告要取用哪一種計算結果，基本上是依據「bIsVarianceEquals」來進行最終判讀（當然也不能排除人類介入解讀的可能性）。
* 演算法定義參考（Equal or unequal sample sizes, similar variances／Equal or unequal sample sizes, unequal variances）：
* https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test */
//T檢定細部結果
Slashview.Statistics.TTestResultDetail oDetail;
//信賴區間臨界值（https://people.richland.edu/james/lecture/m170/tbl-t.html）
double iCriticalValues;
/* ***** 變異數相同計算 ***** */
oDetail = new Slashview.Statistics.TTestResultDetail()
{
bVarianceEquals = true, //變異數相同
iDifferenceBetweenMeans = _oGroupA.iAverage - _oGroupB.iAverage
};
//合併標準差
var iSDCombine = System.Math.Pow
(
(
((_oGroupA.iSize - 1) * System.Math.Pow(_oGroupA.iSD, 2)) +
((_oGroupB.iSize - 1) * System.Math.Pow(_oGroupB.iSD, 2))
) /
(
_oGroupA.iSize + _oGroupB.iSize - 2
),
0.5
);
//平均數差異標準誤
oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans = System.Math.Pow
(
System.Math.Pow(iSDCombine, 2) *
((1d / _oGroupA.iSize) + (1d / _oGroupB.iSize)),
0.5
);
//T-Statistics
oDetail.iTValue = oDetail.iDifferenceBetweenMeans / oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans;
//自由度（Degree of Freedom）
oDetail.iTDf = oResult.iFDf2;
//T-Statistics in p-Value
oDetail.iTPValue = _oStatistics.DataManipulator.Statistics.TDistribution(oDetail.iTValue, (int)oDetail.iTDf, false);
//求取在指定顯著性下的T分布表之臨界值
iCriticalValues = _oStatistics.DataManipulator.Statistics.InverseTDistribution(oResult.iSignificantLevel, (int)oDetail.iTDf);
//信賴區間下限
oDetail.iConfidenceLowerLimit = oDetail.iDifferenceBetweenMeans - (iCriticalValues * oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans);
//信賴區間上限
oDetail.iConfidenceUpperLimit = oDetail.iDifferenceBetweenMeans + (iCriticalValues * oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans);
//存回結果集合
oResult.oDetail.Add(oDetail);
/* ***** 變異數不相同之計算 ***** */
oDetail = new Slashview.Statistics.TTestResultDetail()
{
bVarianceEquals = false, //變異數不相同
iDifferenceBetweenMeans = _oGroupA.iAverage - _oGroupB.iAverage
};
//平均數差異標準誤
oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans = System.Math.Pow
(
(_oGroupA.iS * (1d / _oGroupA.iSize)) + (_oGroupB.iS * (1d / _oGroupB.iSize)),
0.5
);
//T-Statistics
oDetail.iTValue = oDetail.iDifferenceBetweenMeans / oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans;
//自由度（Degree of Freedom）
oDetail.iTDf = System.Math.Pow
(
(_oGroupA.iS * (1d / _oGroupA.iSize)) +
(_oGroupB.iS * (1d / _oGroupB.iSize)),
2
) /
(
(System.Math.Pow(_oGroupA.iS / _oGroupA.iSize, 2) / (_oGroupA.iSize - 1d)) +
(System.Math.Pow(_oGroupB.iS / _oGroupB.iSize, 2) / (_oGroupB.iSize - 1d))
);
//T-Statistics in p-Value
oDetail.iTPValue = _oStatistics.DataManipulator.Statistics.TDistribution(oDetail.iTValue, (int)oDetail.iTDf, false);
//求取在指定顯著性下的T分布表之臨界值
iCriticalValues = _oStatistics.DataManipulator.Statistics.InverseTDistribution(oResult.iSignificantLevel, (int)oDetail.iTDf);
//信賴區間下限
oDetail.iConfidenceLowerLimit = oDetail.iDifferenceBetweenMeans - (iCriticalValues * oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans);
//信賴區間上限
oDetail.iConfidenceUpperLimit = oDetail.iDifferenceBetweenMeans + (iCriticalValues * oDetail.iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans);
//存回結果集合
oResult.oDetail.Add(oDetail);
//暫存結果並回傳
_oTTestResult = oResult;
return oResult;
}
/// <summary>
/// 獨立樣本T檢定報告產生器
/// 此方法一定要銜接與統計運算後方能呼叫產生報告，否則將因為缺乏參考物件導致報告內容殘缺或錯誤。
/// </summary>
/// <param name="cObjective">檢測目標詞句（預設：平均數）</param>
/// <returns>獨立樣本T檢定文字報告</returns>
public string GetReport(string cObjective = "平均數")
{ //檢查文件論述目標
if (string.IsNullOrEmpty(cObjective))
{ cObjective = "平均數"; }
//檢查必要參數是否為空值
if (_oGroupA == null || _oGroupB == null || _oTTestResult == null)
{ return "必要的統計結果為空值，請先進行實質統計運算後再調用此報告。"; }
//開始作文
var oRightResult = _oTTestResult.oDetail.Where(x => x.bVarianceEquals == _oTTestResult.bIsVarianceEquals).FirstOrDefault();
return $@"
此獨立樣本T檢定用來比較{_oGroupA.cName}與{_oGroupB.cName}的{cObjective}是否有所差異。其中{_oGroupA.cName}的樣本數為{_oGroupA.iSize}個，{cObjective}平均數為{_oGroupA.iAverage}，而{_oGroupB.cName}的樣本數為{_oGroupB.iSize}個，{cObjective}平均數為{_oGroupB.iAverage}。
在樣本變異數同質性檢定（F-Test）中採用Levene's test方法來進行，檢定統計量𝐹值為{_oTTestResult.iFValue}、𝑝值為{_oTTestResult.iFPValue}，{(_oTTestResult.bIsVarianceEquals ? "尚未" : "已經")}到達顯著水準（𝛼={_oTTestResult.iSignificantLevel}），代表所檢測的兩組樣本變異數{(_oTTestResult.bIsVarianceEquals ? "並無" : "具備")}顯著差異，因此在後續的獨立樣本T檢定中將採用「樣本變異數{(_oTTestResult.bIsVarianceEquals ? "相同" : "不同")}」的檢定方式來統計𝑇值。
在獨立樣本T檢定（Independent Samples T-Test）中，檢定統計量𝑇值為{oRightResult.iTValue}、𝑝值為{oRightResult.iTPValue}，{(oRightResult.iTPValue < _oTTestResult.iSignificantLevel ? "已經" : "尚未")}到達顯著水準（𝛼={_oTTestResult.iSignificantLevel}），因此{(oRightResult.iTPValue < _oTTestResult.iSignificantLevel ? "拒絕虛無假設（𝐻₀）接受對立假設（𝐻₁）" : "無法拒絕虛無假設（𝐻₀）")}，這代表著{_oGroupA.cName}與{_oGroupB.cName}的{cObjective}之間{(oRightResult.iTPValue < _oTTestResult.iSignificantLevel ? "存在" : "不存在")}顯著差異{(oRightResult.iTPValue < _oTTestResult.iSignificantLevel ? $"，亦即{_oGroupA.cName}的{cObjective}{(_oGroupA.iAverage >= _oGroupB.iAverage ? "顯著大於" : "顯著小於")}{_oGroupB.cName}" : string.Empty)}。
".Trim();
}
}
/// <summary>
/// 物件類別：T檢定最終回傳值
/// </summary>
public class TTestResult
{
/* ***** F-Test（Levene's Test；樣本變異數同質性檢定） ***** */
//分子自由度（Degree of Freedom）；群組數
public double iFDf1 { get; set; }
//分母自由度（Degree of Freedom）；統計樣本數
public double iFDf2 { get; set; }
//F-Statistics
public double iFValue { get; set; }
//F-Statistics in p-Value
public double iFPValue { get; set; }
//顯著水準α
public double iSignificantLevel { get; set; }
//變異數是否相等
public bool bIsVarianceEquals { get; set; } = false;
/* ***** T-Test Detail Data Object ***** */
public System.Collections.Generic.List<Slashview.Statistics.TTestResultDetail> oDetail = new System.Collections.Generic.List<Slashview.Statistics.TTestResultDetail>();
}
/// <summary>
/// 物件類別：T檢定細部資料
/// </summary>
public class TTestResultDetail
{ //本計算是否採用「樣本變異數同質」運算
public bool bVarianceEquals { get; set; }
//自由度（Degree of Freedom）
public double iTDf { get; set; }
//T-Statistics
public double iTValue { get; set; }
//T-Statistics in p-Value
public double iTPValue { get; set; }
//平均數差異
public double iDifferenceBetweenMeans { get; set; }
//平均數差異標準誤
public double iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans { get; set; }
//信賴區間下限
public double iConfidenceLowerLimit { get; set; }
//信賴區間上限
public double iConfidenceUpperLimit { get; set; }
}
}
如果讀者有把上面的程式碼讀懂，那麼應該已經對於類別調用的方法了然於心，故以下僅列舉出計算結果（物件序列化後的JSON）供給參考：
Ａ標準統計結果：
{
"cName": "Ａ",
"oList": [
240.0,
245.0,
249.0,
260.0,
260.0,
268.0,
270.0,
280.0,
290.0,
300.0
],
"iSize": 10,
"iMaximum": 300.0,
"iMinimum": 240.0,
"iAverage": 266.2,
"iMedian": 264.0,
"iQuartile1": 251.75,
"iQuartile3": 277.5,
"iS": 380.62222222222215,
"iSD": 19.509541825020445,
"iSEM": 6.1694588273382784
}
Ｂ標準統計結果：
{
"cName": "Ｂ",
"oList": [
178.0,
190.0,
200.0,
210.0,
211.0,
222.0,
247.0,
250.0,
270.0
],
"iSize": 9,
"iMaximum": 270.0,
"iMinimum": 178.0,
"iAverage": 219.77777777777777,
"iMedian": 211.0,
"iQuartile1": 200.0,
"iQuartile3": 247.0,
"iS": 922.19444444444434,
"iSD": 30.367654575953743,
"iSEM": 10.122551525317915
}
Ｔ檢定結果：
{
"oDetail": [
{
"bVarianceEquals": true,
"iTDf": 17.0,
"iTValue": 4.0079244493543822,
"iTPValue": 0.00091142287238465958,
"iDifferenceBetweenMeans": 46.422222222222217,
"iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans": 11.582609105743037,
"iConfidenceLowerLimit": 21.985053321423912,
"iConfidenceUpperLimit": 70.859391123020515
},
{
"bVarianceEquals": false,
"iTDf": 13.403312191728338,
"iTValue": 3.9160125396727836,
"iTPValue": 0.0017717046784679891,
"iDifferenceBetweenMeans": 46.422222222222217,
"iStandardErrorOfDifferenceBetweenMeans": 11.854462096819841,
"iConfidenceLowerLimit": 20.812213918531334,
"iConfidenceUpperLimit": 72.032230525913093
}
],
"iFDf1": 1.0,
"iFDf2": 17.0,
"iFValue": 2.1377069035541596,
"iFPValue": 0.16195698208001097,
"iSignificantLevel": 0.05,
"bIsVarianceEquals": true
}
Ｔ檢定自動化報告：
此獨立樣本T檢定用來比較Ａ與Ｂ的期中成績是否有所差異。其中Ａ的樣本數為10個，期中成績平均數為266.2，而Ｂ的樣本數為9個，期中成績平均數為219.777777777778。
在樣本變異數同質性檢定（F-Test）中採用Levene's test方法來進行，檢定統計量𝐹值為2.13770690355416、𝑝值為0.161956982080011，尚未到達顯著水準（𝛼=0.05），代表所檢測的兩組樣本變異數並無顯著差異，因此在後續的獨立樣本T檢定中將採用「樣本變異數相同」的檢定方式來統計𝑇值。
在獨立樣本T檢定（Independent Samples T-Test）中，檢定統計量𝑇值為4.00792444935438、𝑝值為0.00091142287238466，已經到達顯著水準（𝛼=0.05），因此拒絕虛無假設（𝐻₀）接受對立假設（𝐻₁），這代表著Ａ與Ｂ的期中成績之間存在顯著差異，亦即Ａ的期中成績顯著大於Ｂ。